Конечно лучше такое сделать дома, чтобы не травмировать животное, чтобы в привычной обстановке все для него происходило, так будет лучше и животному и Вам более спокойно. Все-таки это член семьи и надо все сделать так, чтобы потом не жалеть, что что-то не так сделали.
Болезненная конечно тема, но всякое бывает.
Вот есть в Москве услуги ветклиники, где такая процедура проводится, причем на дому https://vetvita.ru/ Если надо, то лучше к ним обратиться и все сделать именно дома, а потом самостоятельно похоронить животное, хотя там в клинике есть и такого рода услуги. Тут уже Вы сами решайте, как лучше.